• Hilbert自1898年前后起开始对几何基础感兴趣, 应该是受到当时非欧几何潮流的影响, 1899年出版了巨著 几何基础, 将几何学的数学基础用严格的方式奠定. Peano的自然数公理化提出于此前十年.
• 1900-08-08, 巴黎, 第二届国际数学家大会.

Hermann Minkowski

Hilbert就以下面这段话, 开始了他的著名演讲. 那23个问题, 在现场由于时间关系只说了10个.

Who among us would not be happy to lift the veil behind which is hidden the future; to gaze at the coming developments of our science and at the secrets of its development in the centuries to come?

What will be the ends toward which the spirit of future generations of mathematicians will tend?

What methods, what new facts will the new century reveal in the vast and rich field of mathematical thought?

David Hilbert1900

The continuum hypothesis :

There is no set whose cardinality is strictly between that of the integers and that of the reals.

Hilbert's 1st Problem

Entscheidungsproblem:

Given a Diophantine equation with any number of unknown quantities and with rational integral numerical coefficients: To devise a process according to which it can be determined in a finite number of operations whether the equation is solvable in rational integers.

Hilbert's 10th Problem

• 1901年, Russell发现了Russell's Paradox, 给出了Frege集合基础中的悖论. 为了修复这个悖论, 1908年Zermelo提出了"首个公理化的集合论", 最终发展成了今天的ZFC. 然而Russell当时并未接受, 用了一套自己发展出的不太靠谱的修复方法, 与Whitehead一起, 在1910-1913年间出了三大本的 Principia Mathematica

• Hilbert开始了对逻辑的兴趣. 1917年9月11日, 瑞士, Hilbert在一次以"Axiomatic Thought"为题的演讲中提出了Hilbert's Progarm, 他希望数学被彻底的形式化, 并且还要是公理独立的, 一致的, 完备的, 可判定的.

• 1921年, Hilbert的助手Behmann在一份关于Entscheidungsproblem的手稿中写到:

It is of fundamental importance for the character of this problem that only mechanical calculations according to given instructions, without any thought activity in the stricter sense, are admitted as tools for the proof. One could, if one wanted to, speak of mechanical or machinelike thought. (Perhaps one could later let the procedure be carried out by a machine)

• 1922-1923年, Hilbert在Gottingen教逻辑学. 1928年, 他的助手 Ackermann整理其讲义, 出版了一本小书, 名为数理逻辑原理. Gödel恰恰是这本书的早期读者之一, 1929年, Gödel在其博士论文中证明了书中的一个问题, 即一阶谓词逻辑的完备性. Hilbert 离他的雄伟目标又进了一步.

• 1930年9月8日, Hilbert的退休演讲上, 他乐观的说出那句话:

Wir müssen wissen. Wir werden wissen.
HilbertKönigsberg

Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I

Gödel的结论解决了完备性与一致性的问题, 但给可判定性似乎还留下了空间. 判定真命题是没有希望了, 但会不会存在一种算法, 能够判定一个命题的可证明性呢?

• Turing很可能是在1935年夏天开始对判定性问题感兴趣. 次年4月, 他提交了Turing1936的草稿. 几乎同时, Alonzo Church也给出了判定性不可解的证明. 之后, Turing补充了一份附录, 说明了自己工作与Church工作的等价性, 年底, 神のTuring1936发表.

On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem