清华的数学学习

貌似中文标题的都偏吐槽向.

现状

清华的"工科数学基础课", 课堂教学方式大致都是 抄课本.

当然, 抄有不同的抄法. 有的老师抄在黑板上, 有的抄在一学期改一页的ppt上. 一般他们在抄的同时会把文字部分匹配出来读一读, 遇到公式的话有的会读, 有的用指示代词替换掉了, 每个知识点下面抄一个例题. 总之像是个可以写程序控制机器人来完成的活.

至少在我上过的5个老师的6门数学基础课里, 有5门都是这样, 这些课我平均翘掉了约3/4的课时, 主要在开学, 期中, 期末时去露脸. 史老师的概率论从未用过书, 课件虽然不知道换不换, 但至少是精致的beamer而不是ppt. 他的课我每节都不迟到.

我为什么不上抄书课?

用我高中数学老师的一句话回答: "(此处五河口音)我字写的又不好看, 我抄书不如你们自己回去看咯".

抄书课于我而言没有效率的原因在于:

  • 看抄下来的东西理解比自己看书理解要慢的多, 当你看的是一本好教材时尤其如此.

  • 以抄书为主线的老师, 在课堂上补充的书本之外的东西将很有限, 至少我"试听"过的那些课里都是这样. 翘课节省下来的时间足够多看一本好教材, 能够得到更多补充的东西. (事实上我是先挑本好书看, 看完了再回来翻课本)

估计能来清华的同学, 大多数人高中数学课都是几乎不用课本的吧. 如今反而退步了, 实在觉得有些遗憾.

抄书与背书对不对

以上的一段, 毕竟只是我的个人经历与个人喜好. 可能有的人真的看抄书会理解的比看书快(虽然我对此很不理解), 可能有的人没有课堂就懒得看书了(这..), 可能有的人不需要什么补充的内容, well...fair enough.

貌似是这样, 高中需要补充, 是因为如果没有足够的方法, 思想, 技巧, 甚至"题型", 难以秒掉高考来清华. 而对现在这些数学课, 至少从考试的目的上, 抄书差不多够了, 因为考试, 基本就还是背书和计算嘛. 上课与考试倒是很匹配.

好啦, 所以学工科数学的目的就是背会公式以后用, 或者就算以后忘了的话因为背过一遍至少能翻书找到, 如果我们认同这一目的的话, 那么从课堂到考试的现状都挺合理的了.

这个目的对不对呢? 工科专业那么多, 大家学的是几乎一样的数学基础课, 根本无法给出答案, 即使在计算机系, 你要用多少数学跟你干什么的关系也十分大, 所以这个讨论就停在这好了.

就我自己而言, 即使当初学线代的时候多看了两本丘维声高代, 仍然觉得线代不够用, 还得补补Strang的线代 才满意. Linear Algebra Done Right 也是本好书.

背书考试?

刚才说到考试是背书和计算, 这或许需要define一下"背书".

一类是真的纯背书: 背下一个公式, 题目给一个输入, 计算出一个输出. 这样的题占近一半吧, 包括背公式算积分, 求一个函数的Fourier变换, 矩阵的Schmidt正交化, 求一个矩阵的Jordan标准型. 当然你可以说这些东西不用背啊: 积分公式不记得了可以现推(虽然会耗考试时间), Fourier变换如果理解了的话那个式子是无比直观自然的, Schmidt正交化不是也很显然么. 这确实没错, 但问题是考试的内容无法区分学生是不是在背公式, 背公式与靠理解而写出公式会得到同样的评价, 但背公式显然是更加糙快猛的考前解决方案, 因而这样考试大概是有点不科学的.

而且其中也的确有少数坑爹的东西难以理解, 这就只能解释成教学内容太过奇葩. 比如数理统计里"已知样本均值求方差的置信概率"还是什么的东西, 我连名字都不记得了. 没有允许这些毫无美感的东西在我的记忆中停留. 没有思想的公式是符号垃圾, 可惜考试确实考了一些. 有不少题考的不是符号垃圾, 却可以用符号垃圾来应付.

另一类差不多是背题型, 也近一半吧. 老师们可能怕出怪题大家不会(虽然仔细想想这种心理挺怪异的), 出题便参考往年考试或者题集里的题. 其结果之一是鼓励了刷题, 当然这也不是就不好, 毕竟多做题对学习确实有一定帮助, 然而有些考试参考的实在有些太像原题...

顺便吐个小槽, 小时候看人推荐 菲赫金哥尔茨 的时候说过这么一句话: "做了它的习题就不怕考试了因为什么样的题都有, 老师都从这出题." 那时候还年轻, 挺鄙视这种现象的..上了大学发现其实吉米多维奇就够了..甚至吉米多维奇都用不着.

老师这么考恐怕有其无奈之处:考点要都覆盖到, 太多技巧或深入的考查的话卷面量会太大, 可以巧妙的考查学生理解深度的好题太难出, 只有选择考大量背书了.

如果要找个方法衡量一个考试"背书程度"的多少, 或许可以问这么一个问题: 给学生一张A4纸允许考试带进去, 他会写多少东西? 或者他的成绩会有多少提高? 对我经历过的微积分线代概率论复变考试, 给张A4纸应该很多人写上一堆公式随随便便90+了. 相比之下高考的背书程度要少的多, 高考数学要是给张A4纸大概只能写点"仔细审题"之类的话了.. 国外大学很多考试都允许带一张cheat sheet, 也恰好是一种先进性.

老师为什么要抄书

因为老师未必十分喜欢或十分擅长教书, 如果不够喜欢的话自然会选择最省事的做法, 不够擅长的话自然会选择最简单的做法. 人之常情.

学校里普遍的做法是将教学与科研挂钩, 要获得教职必须有科研能力. 这当然是有其道理的, 用江宁老师的话说, "数学系的职责不是教工科学生使用数学工具", 因而数学系不愿意养任何科研能力不够的人, 赶鸭子上架来教书的人也都是以科研为主业的.

然而, 科研能力强的人带研究生或高年级本科生想必是极好的, 因为他们可以以引导研究为教学目的, 但教低年级基础课的水平与其科研能力却没太大关系, 所以才会出现闫浩助教这样的情形, 助教教书的名声比老师要大的多, 想来其实挺不可思议的. 老师重科研而不善基础教学, 正是其原因.

于是, 几个月前出现了闫浩与江宁老师在人人网上互相批评的状况. 起因是有人推荐闫浩进数学系当老师, 得到工科学生在网上的大力支持, 但按数学系的教学科研不分的规矩来看, 闫浩的科研水平不够当老师, 因而江宁老师表态明确拒绝, 顺便攻击了工科数学的教学与考试方式, 此举遭到了不少工科学生的反对.

只从工科基础课教学上看的话, 说闫浩是清华教的最好的人之一我认为毫不过分. 我听过不少闫浩的课, 他能以十分通俗易人的方式解释概念(比如$\varepsilon - N $语言), 使得数学直觉不好的学生更容易接受, 而这正是其他老师很少能做到的. 他也会做适当且有趣的扩展, 比如我记得有次讲到一个跟函数不动点有关的题, 闫浩就说了不少关于不动点, 周期点的理论, 一直说到chaos, Sharkovsky ordering, Sharkovsky theorem, 用"三生万物"的段子结束了对Sharkovsky的讨论. 真的很赞.

然而我也很清楚, 在钟爱纯数学的人眼里, 工科数学的教学方式是多么糟糕, 这种背书考试是多么的不可容忍, 他们真批评起来恐怕没有什么好脾气. 于是江宁老师把闫浩现象作为了"工科数学"的代表, 对这种现象进行批评(我未见到他对闫浩本人的批评), 也就可以理解了.

小槽

两年来有两次着实很失望.

  1. 对贵系的一门离散数学(数理逻辑与集合论), 我记得这么一件事:
    老师ppt上一句一句的, 一个一个定理的读过去, 其中包括一个省略了证明的, 叫做"Godel不完备性定理"的定理. 老师没有加任何其他的说明, 就这么把定理的内容...读过去了.
    这样的糟蹋让人感到悲哀.

  2. 贵系的人智课虽然有的东西有点过时, 但平心而论内容还是不错的, 老师讲课也很有激情. 作业有深有浅, 有发挥空间, 这些都很好. 然而背一个公式占15~20分(而且有三个这种题) 的考试实在让很多人觉得受到了侮辱.
    期末前一次聚餐跟几个同学说起人智作业成绩, 我就说, 期末错一个填空题作业就全白做了 (因为大量的作业占的总评很少). 当时我还没想到纯背书题会这么大分, 如果只是几个填空题还是可以忍受的. 况且写的作业真的挺有意思(我之前有两篇文章都在讲人智的作业:1, 2), 我个人也不太在意成绩.
    之前所说的数学课考背书这一现象的存在多少还有些意义, 然而这些意义在这门课里却不成立. 人智专业课课程要求显然不会是"会背会用就行了"(况且背公式根本用不着), 也没有规定说考试一定要覆盖足够多内容. 我无法找出任何理由为什么要考这些东西. 考试结束次日我在网络学堂里发讨论指出考试题目的不合理, 也未得到老师回应.

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